La sombra de Pitágoras. Armonía, composición, ciencia y religión en la música medieval

 

Representación de Pitágoras y Boecio en un grabado medieval.

Cuenta la historia que, paseando un día el legendario filósofo Pitágoras, quedó absorto al escuchar el armonioso martilleo procedente de una herrería cercana. Al indagar sobre el singular fenómeno, descubrió que al golpear los yunques simultáneamente con dos martillos resultaba un sonido tanto más armonioso según fuera más simple la razón entre los pesos de los martillos.

Como la manzana de Newton para la física, la herrería de Pitágoras sería para la música un símbolo cuya sombra se proyectaría durante toda la Edad Media, consolidando uno de los principios genéticos –el matemático– más significativos de la música occidental, que repasaremos brevemente en este artículo.

El mito del herrero armonioso y el descubrimiento de la armonía natural

La historia del herrero armonioso –cuyo origen se remonta al menos al relato que de ésta realizara Nicómaco de Gerasa en su Enchiridion harmonices (s. II d.C.)– especifica detalladamente el peso de los martillos, cuyas proporciones eran 12, 9, 8 y 6, respectivamente. Así, cuando el herrero golpeaba a la vez con los martillos de peso 12 y 6 (razón 2:1, sonidos a una octava de distancia) resultaba el más dulce de los sonidos; algo menos dulce pero igualmente armoniosa resultaba la combinación de los martillos de peso 12 y 8 (razón 3:2, sonidos a una quinta de distancia, como la que hay entre las notas Do y Sol), y la de los martillos de peso 12 y 9 (razón 4:3, sonidos a una cuarta de distancia, como ocurre entre las notas Do y Fa). Sin embargo, al combinar los martillos de peso 9 y 8 (razón 9:8, sonidos a un tono de distancia, como el que hay entre las notas Do y Re) resultaba un sonido áspero y desagradable.

El novelesco descubrimiento de Pitágoras revelaba íntimas y misteriosas conexiones entre la música y las matemáticas, además de suponer el nacimiento de la armonía, que tan importante papel cumpliría en la teoría y en la composición musical del mundo occidental.

La serie físico-armónica explica las relaciones sonoras expuestas en el mito del herrero armonioso: La relación 12:6 (distancia de Sol a Sol) corresponde efectivamente a una octava, al igual que su expresión simplificada 2:1 (distancia de Do a Do); la relación 12:8 (distancia de Sol al Do situado por debajo) corresponde a una quinta justa, así como su expresión simplificada 3:2; y así hasta llegar a la relación 9:8 (distancia de Re al Do situado por debajo), correspondiente a una segunda mayor.

Pero como todo mito, el de Pitágoras y el herrero armonioso contiene un fondo de verdad envuelta en un manto de imprecisiones. A la improbabilidad general de la anécdota debemos añadir el hecho de que la frecuencia del sonido producido por un martillo no dependa del peso, tal como pretende el mito. Sin embargo, las relaciones armónicas descritas tan prolijamente en el relato de Nicómaco sí se producen en los instrumentos de cuerda (en los que la altura del sonido es inversamente proporcional a su longitud) o en los de viento (en los que es inversamente proporcional a la longitud del tubo).

Tanto en la guitarra, como en el violín o la flauta, el instrumentista produce los distintos sonidos de la escala al variar la longitud de vibración efectiva de la cuerda pisando ésta con el dedo, o la del tubo tapando o destapando agujeros, y estos sonidos guardan entre sí las mismas relaciones de intervalos descritas en la leyenda del filósofo de Samos.

Los antiguos se obstinaron en encontrar relaciones armónicas entre las órbitas de los planetas. Era la única forma de confirmar la autoría divina del cosmos.

Los antiguos se obstinaron en encontrar relaciones armónicas entre las órbitas de los planetas. Era la única forma de confirmar la autoría divina del cosmos.

El mito del herrero armonioso alcanzó una notable difusión en el mundo antiguo y medieval, quizá por ofrecer una imagen matemática de irresistible simplicidad que parecía explicar y unificar un conjunto de analogías observables entre fenómenos diversos (materia, sonido) cuyas conexiones físicas eran aún desconocidas pero cuyas resonancias mágicas invadieron otros ámbitos del saber, en concreto la geometría y la astronomía.

El arraigo de la teoría armónica en la astronomía (el concepto “armonía de las esferas” implicaba la creencia de que las órbitas de los planetas solares guardaban entre sí las proporciones simples de la armonía, creando consonancias celestes inaudibles para el oído humano) fue tal que incluso su refutación por obra de Johannes Kepler en Harmonices Mundi (Linz, 1619), fue formulada desde el convencimiento de que se reforzaba esta teoría, en lugar de invalidarla.

Habría que esperar unas décadas hasta que Galileo Galilei ofreciera en su Discorsi e dimostrazioni matematiche (1638, Leiden) la enunciación de la ley de isocronía de la oscilación del péndulo y, con ésta, la primera aproximación verdaderamente científica acerca del fenómeno armónico.

Ángeles y demonios

La ubicuidad de la teoría armónica en disciplinas como la aritmética, la geometría, la astronomía y la música explican por qué fueron precisamente éstas las cuatro ciencias pitagóricas por excelencia, agrupadas en el quadrivium celosamente cultivado y transmitido por los escolásticos de la Edad Media. Junto a la matemática, la ciencia musical medieval encontró en la teología un fundamento adicional para la especulación teórica que sirvió de guía desde sus inicios a la incipiente experimentación en el ámbito de la polifonía.

De este modo no debe extrañarnos que la primera definición de acorde –entendido éste como combinación de sonidos con sentido musical autónomo–, proporcionada por Johannes de Grocheio en un manual denominado Theoria, De musica, o Ars musicae (ca. 1300), hiciera uso del dogma de la santísima trinidad para referirse a una entidad armónica de sobra conocida por los anónimos compositores de la época: la trina harmoniae perfectio; esto es, un acorde formado por la superposición de una quinta justa y una octava a partir de un sonido fundamental (razón 2:3:4, ver diagrama).

De la trina harmoniae perfectio de Jacobo de Lieja a

De la trina harmoniae perfectio de Jacobo de Lieja a la harmonia perfetta de Gioseffo Zarlino.

Poco después, Jacobo de Lieja hablará por primera vez del acorde de triada mayor en su tratado Speculum Musicae (ca. 1330) al referirse a la quinta fissa, formada a su vez por la superposición de una tercera mayor y una quinta justa (razón, 4:5:6). El teórico flamenco consideraba este acorde insuficientemente consonante y por ello poco apto para ser utilizado como cierre de una obra musical.

En efecto, la primacía de la trina harmoniae perfectio como acorde conclusivo solo sería desafiada por el  acorde de triada mayor en el ámbito de la composición polifónica durante el s. XVI, al término del cual acabaría por imponerse definitivamente. Este cambio de paradigma acústico aparece recogido ya en el teórico más destacado del siglo, Gioseffo Zarlino, quien considerará a este acorde como “harmonia perfetta” en Le institutione armoniche (Venecia, 1558), medio siglo antes de que Johannes Lippius acuñara la expresión “trias harmonica” en su obra Synopsis musicae novae (1612, Estrasburgo), sancionando así el uso actual del término “triada”.

Representación medieval de Pitágoras evaluando las consonancias perfectas regidas por relaciones matemáticas simples.

Como no hay santidad sin infierno, ni ángeles sin demonios, el concepto de disonancia sería igualmente revestido de un manto teológico. Si debemos creer a fuentes tardías como Fux, Telemann o Mattheson (primera mitad del s. XVIII), los teóricos medievales habrían denominado “Diabolus in musica” al intervalo de tritono (razón 64:45 o 45:32, como el intervalo que se produce entre las notas Fa y Si o viceversa).

Efectivamente, aunque no contamos con ninguna cita del “diablo en música” en la literatura musical medieval -y por lo tanto podría tratarse de una invención tardía-, podemos deducir su maligna presencia a partir de la precaución mostrada por numerosos teóricos como el monje benedictino Hucbaldo, quien en su tratado De harmonica institutione (ca. 880) –auténtico pilar de la teoría musical occidental– introdujo en el sistema musical -junto a las consabidas siete notas del sistema diatónico-, el Si bemol, para poder así eludir el temido tritono que se formaba entre las notas Fa y Si natural.

La dinamo aristotélica

La especulación musical medieval fue más allá de lo que este burdo maniqueismo en torno a los conceptos de consonancia y disonancia pueda sugerir. En efecto, en medio del esplendor musical del Ars antiqua (s. XIII) emerge un principio compositivo que constituye según Knud Jeppesen la primera regla genuinamente contrapuntística de la música occidental: la denominada “regla franconiana”.

Recogida en un tratado anónimo (Gerbert, Scriptores ecclesiastici, vol. III, p. 13), la regla establece que las disonancias se sitúen únicamente en la parte débil del compás (el arsis), y que la parte fuerte (la thesis) sea ocupada exclusivamente por consonancias. Se establecía así un principio general de tensión y distensión netamente armónico, un elemento dinamizador del flujo musical basado en la marcha regular del ciclo consonancia/disonancia que no existiría si la música consistiera en una mera sucesión de consonancias.

Lo llamativo de esta regla consiste en que se ve ampliamente refrendada por la práctica totalidad del repertorio polifónico medieval, el cual confirma –quizá con la excepción del producido en las Islas Británicas– el gusto por la alternancia y contraste entre la consonancia más pura (octavas, quintas) y la disonancia más indómita (segundas, séptimas). La sonoridad “intermitente” que resulta de esta práctica constituye un arquetipo sonoro cuya vigencia podemos reconocer en obras tan distantes en el tiempo como las obras polifónicas incluidas en el Códice Calixtino (s. XII) y las baladas italianas del Ars nova (s. XIV), pasando por la Escuela de Notre Dame y los motetes politextuales del siglo XIII.

Un arquetipo del todo equiparable al catalogado por el etnomusicólogo Alan Lomax en Song Style and Culture (1968) como “isolated chords” (acordes aislados) y reconocible en numerosas culturas musicales tradicionales de Europa del Este y del África subsahariana, pero que sería abandonado desde mediados del siglo XV en favor de un nuevo arquetipo sonoro más homogéneo, sustentado ya en la densidad más plena y equilibrada del acorde de tríada.

En pleno apogeo de la escolástica, la metafísica aristotélica proporcionó una base fiable para la justificación de la armonía.

En pleno apogeo de la escolástica, la metafísica aristotélica proporcionó una base fiable para la justificación de la armonía.

El principio dinamizador expuesto de forma más o menos burda en la regla franconiana será refinado durante el siglo XIV por el compositor y teórico italiano Marchetto de Padua, quien en su tratado Lucidarium (ca. 1318) la reformula justificándola a partir de la física aristotélica: “imperfectum appetit suam perfectionem” (“lo imperfecto tiende a su perfeccionamiento”). En consecuencia, la resolución de la disonancia en la consonancia no es ya un acto fortuito o arbitrario, sino que se reconoce como un resultado de la ley natural y como principio motriz fundamental de la armonía.

La constatación práctica más elocuente del principio aristotélico la encontramos en el retardo, artificio contrapuntístico descrito por vez primera por Guilelmus Monachus en De Praeceptis artis musice et practice compendiosus libellus (ca. 1460) y especialmente valorado por los compositores renacentistas.

Pues bien, aunque el retardo desafía la primitiva regla franconiana en el sentido de que se trata de una disonancia situada en la parte fuerte del compás, se adhiere estrictamente al principio aristotélico dado que dicha disonancia debe resolver –en común acuerdo entre músicos teóricos y prácticos– en una consonancia imperfecta para que ésta, a su vez, lo haga en una consonancia perfecta, atravesando así tres estadios de perfeccionamiento progresivo y enunciando un ciclo completo de tensión y distensión. Tal como explica Davis E. Cohen (Music Theory Spectrum, vol. 2, 2001), el principio motriz aristotélico se mantendrá vigente durante siglos, ocupando un lugar destacado en tratados tan influyentes como Le institutione armoniche de Zarlino o el Traité de l’Harmonie de Rameau (París, 1722).

La profundidad de su asimilación en el terreno práctico puede reconocerse fácilmente si tenemos en cuenta la persistencia en el tiempo de uno de sus corolarios más elementales, esto es, el hecho de que el acorde final de una obra deba ser consonante. Pues bien, este corolario resistirá impertérrito frente al desarrollo de lenguajes armónicos tan avanzados e iconoclastas como los de Wagner o Debussy, quienes cerrarán todas sus obras con acordes de tríada o, en su defecto, con consonancias aún más puras, como la quinta o la octava. Incluso Alban Berg le rendirá tributo en su Concierto para violín (1935), obra maestra del dodecafonismo que concluye, sin embargo, con un luminoso acorde de Si bemol mayor con sexta añadida.


Magister Albertus – Conductus “Congaudeant catholici” [s. XII]. La composición polifónica a tres voces más antigua de la historia que ha llegado hasta nuestros días está contenido en un documento único conservado en la catedral de Santiago de Compostela. Se trata de un conductus multiestrófico escrito sin indicación del ritmo que consta de una voz ornamentada que se entrelaza con una base formada por dos voces con idénticos ritmos y movimiento contrario formando consonancias perfectas. Si sigues las interpretaciones sugeridas a la derecha con una transcripción moderna comprobarás enormes disparidades en cuanto al ritmo (las interpretaciones propuestas realizan la primera estrofa a una sola voz y van incorporando las restantes voces en las sucesivas estrofas, de modo que deberás esperar un poco antes de poder escuchar la polifonía completa a tres voces).


El serialismo alegórico

El afán racionalizador del músico medieval no se conformó únicamente con adecuar la técnica polifónica a la ciencia armónica (Pitágoras) y a la filosofía natural (Aristóteles) de los antiguos, sino que encontró en el motete politextual el marco formal que daría la respuesta definitiva a sus inquietudes. El que fuera el género compositivo más complejo y misterioso del arte musical gótico no había nacido para una escucha desconcentrada, ni para los oídos incultos.

El ya citado Grocheio (ca. 1300) definía el motete como “música escrita para varias voces, a partir de múltiples textos o de una ordenación variada de sílabas, armoniosamente consonante en todos los sentidos”, pero aclaraba a continuación que “esta música no debe ser interpretada en presencia de la gente común, pues nadie advertiría sus sutilezas ni disfrutaría de su escucha, sino que debe interpretarse en presencia de gente educada y amante de las sutilezas del arte”.

Un tenor muy utilizado como base de los motetes en el siglo XIII: "Aptatur", en una realización isorrítmica.

Un tenor muy utilizado como base de los motetes en el siglo XIII: “Aptatur”, en una realización isorrítmica.

Este particular elitismo es el que explicaría los rasgos más sorprendentes del motete; la isorritmia y la politextualidad. Como sabemos, el motete medieval es una composición polifónica basada en la adición de una, dos o tres voces a una melodía preexistente, procedente por lo general del Antifonario gregoriano y situada en la voz denominada tenor.

Pues bien, en el motete isorrítmico esta melodía preexistente es despojada de su ritmo original y reducida a una serie de alturas/notas (color). El ritmo original será suplantado a su vez por una serie fija de duraciones (talea) que se repetirá de forma recursiva (isorritmia) tantas veces como sea necesario para cubrir la totalidad del color y de sus repeticiones. De este modo, el número total de repeticiones del color y de la talea proporcionarán un sustrato aritmético al motete y le dotarán de una determinada proporción “armoniosamente consonante”.

La politextualidad se refiere al hecho de que cada una de las voces del motete lleva un texto distinto o incluso en lenguas distintas –excepto el tenor, que no tiene–. Ello permite establecer entre los diferentes textos un sistema de relaciones simbólicas que dotará a la obra de un sentido alegórico global, de naturaleza teológica, política o filosófica. Tal como afirma James Haar en Hearing the Motet (Oxford University Press, 1997), “el motete ejemplifica lo que podríamos denominar ‘cultura del quadrivium’ [quadrivial culture], mediante el uso de la aritmética y la antigua ciencia de los armónicos en estructuras músico-textuales de una complejidad de diseño y de referencias alegóricas que sólo recientemente hemos comenzado a esclarecer”.

La era del motete isorrítmico se extendió desde la simplicidad de los primeros modelos anónimos ofrecidos por el Ars antiqua (s. XIII), evolucionando a través de las complejidades rítmicas del Ars nova y las tortuosas armonías del Ars subtilior (s. XIV ) hasta culminar en pleno siglo XV en obras como el motete “Nuper rosarum flores” (1436) de Guillaume Dufay, compuesto para celebrar la inauguración de la catedral de Florencia, y que toma de ésta –según la hipótesis alumbrada por Charles Warren (Brunelleschi’s Dome and Dufay’s Motet, 1973)– sus mismas proporciones.


Codex Las Huelgas – Motete “Salve sancta parens/Salve porta regis/Salve salus genciun” [s.XIII] Este motete politextual a tres voces recogido en el monasterio de las Huelgas está escrito en notación prefranconiana -un sistema primitivo de notación rítmica en subdivisión ternaria- y es un buen ejemplo del Ars Antiqua. Este motete cuenta con un tenor tomado del inicio del Introito “Salve sancta parens”. El tenor es interpretado al principio (tiene algunas variantes con respecto a la versión vaticana oficial, que puedes escuchar en la segunda audición de la derecha, en un registro más agudo) y repetido después sobre una talea rítmica sobre la que se superponen la segunda y la tercera voz (más ornamentadas y con distintos textos) en sendas repeticiones.


Guillaume de Machaut – Motete “Vidi Dominum/Faus samblant m’a deceü/Amours qui ha le pouvoir” [s.XIV] Este motete politextual a tres voces en un buen ejemplo de motete del Ars Nova. Escrito en notación mensural negra, muestra la complejidad rítmica característica de este estilo. El motete consta de un tenor isorrítmico tomado del Responsorio “Vidi Dominum facie ad faciem” e interpretado aquí por una viola, y de dos voces adicionales, más ornamentadas y con distintos textos.

La armonía del tiempo

No nos debe extrañar que el concepto de harmonia –entendido a la manera medieval como ciencia de las proporciones– se extendiera a parámetros musicales que hoy en día consideraríamos casi antitéticos al de la armonía. Es el caso del ritmo, el cual supuso uno de los problemas más persistentes en la especulación musical medieval, a la vez que aportó uno de sus éxitos más originales y duraderos: la notación mensural.

Proporciones en el Tractatus de musica de Johannes de Muris, matemático y astrónomo (ca.1320).

Proporciones en el Tractatus de musica de Johannes de Muris, matemático y astrónomo (1323).

En efecto, hacía siglos que Agustín de Hipona había mostrado la posibilidad de “racionalización” del tiempo (en su tratado De musica, s. IV ), dado que también las duraciones pueden mostrar entre sí proporciones tan claras y fehacientes como las longitudes, los pesos y las medidas. Sin embargo, la cuestión práctica consistente en representar la duración musical de forma gráfica solo fue resuelta, de forma progresiva y en sucesivas reformas, con el desarrollo de la polifonía, especialmente a partir del florecimiento del Ars antiqua durante el siglo XIII.

De forma similar a lo ocurrido con la ciencia armónica, la ciencia rítmica medieval reflejó también los dualismos teológicos de su tiempo, al atribuir a la subdivisión ternaria la “perfección” divina y a la subdivisión binaria la humana “imperfección”. Estos conceptos constituyen la base del sistema rítmico proporcional propuesto por Franco de Colonia en su obra Ars cantus mensurabilis (ca. 1280), en el que introdujo las figuras denominadas longa, brevis, y semibrevis, antecesoras directas de nuestras figuras rítmicas (en concreto, la semibrevis se convertirá en nuestra actual “redonda”).

Este esquema básico, notablemente perfeccionado por los tratadistas del Ars nova, ofreció a los músicos del siglo XIV un marco de referencia capaz de investir de racionalidad el ordenamiento rítmico de la composición. Sin embargo, mientras el siglo de la peste arrancó dentro de los límites ofrecidos por la combinación de proporciones binarias (razón 2:1) y ternarias (razón 3:1), desembocó en un siglo XV que fue testigo de la eclosión del sistema de las proporciones rítmicas, que ofrecía ahora la posibilidad de incluir razones menos inmediatas tales como 3:2 (sesquialtera, equivalente al tresillo), 4:3 (sesquitertia, equivalente al cuatrillo), o aún más complejas, como 9:8, 9:4 o 8:3.

Este sistema, introducido por Prosdocimo de’ Beldomandi (Tractatus practice cantus mensurabilis, 1408), y ampliado por teóricos como Guilelmus Monachus o Tinctoris, permitió desarrollar los denominados “cánones de proporciones”, sin duda su contrapartida compositiva más sofisticada y –siquiera sobre el papel– espectacular. En estas composiciones, dos o más voces se obtienen de una voz única a la que se aplican dos o más mensuraciones (y transposiciones) distintas, resultando sendas voces que llevan la misma melodía aunque a diferentes velocidades proporcionales entre sí.

Este peculiar procedimiento, especialmente apreciado por los compositores franco-flamencos del siglo XV, alcanzaría su cénit en obras como la Missa Prolationum de Johannes Ockeghem (ca. 1450), la Missa L’homme armé super voces musicales (ca. 1490) de Josquin o –ya de forma epigonal– la Missa Repleatur os meum (1570) de Palestrina.

Muerte (y resurrección) del pitagorismo musical

El espectralismo puede considerarse el pitagorismo musical más consistente del siglo XX. Esquema de Partiels (1975) de Gérard Grisey.

El espectralismo puede considerarse el pitagorismo musical más consistente del siglo XX. Esquema de Partiels (1975) de Gérard Grisey.

Será precisamente Josquin quien actuará como punto de inflexión en la evolución posterior del pitagorismo musical, al introducir en su obra el paradigma compositivo que se convertirá en el más influyente de los siglos venideros. Nos referimos a la retórica musical, paradigma según el cual los compositores entenderán la música a semejanza de un inspirado discurso literario, y no tanto a la calculada construcción de una catedral sonora.

Aunque esto no significará el fin de la ciencia armónica a la usanza pitagórica, sí conllevará su inexorable distanciamiento con respecto a las matemáticas de la práctica musical real, seducida por los irresistibles encantos de la suavitas, así como por la dramática contraposición de los affetti. Así, aunque numerosos filósofos y matemáticos seguirán defendiendo en los albores de la Edad Moderna que “La música es una parte de las matemáticas” (Marin Mersenne, Traité de l’harmonie universelle, 1627), la inmensa mayoría de los compositores de los nuevos siglos sentenciarán sin miedo a escandalizar que “Los estudiosos de las matemáticas son compositores incompetentes […]. La física matemática sirve para diseñar instrumentos o edificios pero no es más que un instrumento y no el fundamento o causa” ( Johann Mattheson, Das forschende Orchestre, 1721).

Tal como señala John Neubauer en La emancipación de la música (Yale University Press, 1986) habrá que esperar al siglo XX para asistir a un renacimiento del pitagorismo musical, bien sea a través del serialismo integral, el espectralismo, el fractalismo o determinadas tendencias dentro de la música electrónica. El antiguo ideal armónico-matemático encuentra de nuevo un lugar en la era de la democracia, para satisfacción de una minoría “educada y amante de las sutilezas del arte”.

Sin duda, un apasionante ejemplo de reencarnación artística para la que, por desgracia, ya no disponemos de espacio en estas líneas.

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